Dreieck-Rechner: Seitenlängen, Winkel, Flächeninhalt, Umfang, Höhe berechnen
Mit unserem Dreieck-Rechner kannst du Seitenlängen, Winkel, Flächeninhalt, Umfang, Höhen und weitere wichtige Werte eines Dreiecks schnell berechnen. Wähle einfach aus, welche Angaben dir bereits vorliegen, trage die Werte in den Rechner ein und lasse dir die fehlenden Größen automatisch bestimmen.
Das sind die beliebtesten Geodreieck Produkte
Wie funktioniert der Dreieck-Rechner?
Ein Dreieck lässt sich auf unterschiedliche Arten berechnen. Welche Formel benötigt wird, hängt davon ab, welche Werte bereits bekannt sind. Deshalb kannst du in unserem Rechner zwischen mehreren Berechnungsarten wählen.
Du kannst beispielsweise alle drei Seiten eingeben, zwei Seiten und einen Winkel verwenden oder ein rechtwinkliges Dreieck anhand seiner Katheten berechnen. Kennst du lediglich eine Grundseite und die dazugehörige Höhe, kannst du damit direkt den Flächeninhalt bestimmen.
Je nach gewählter Berechnungsart ermittelt der Rechner unter anderem folgende Werte:
- Seitenlängen a, b und c
- Winkel α, β und γ
- Innenwinkelsumme
- Flächeninhalt
- Umfang
- halben Umfang
- Höhen des Dreiecks
- Seitenhalbierende
- Winkelhalbierende
- Inkreisradius
- Umkreisradius
- Art des Dreiecks
Du musst also nicht jede einzelne Formel selbst auswählen und einsetzen. Wichtig ist lediglich, dass deine Angaben ausreichen, um das Dreieck eindeutig zu bestimmen.
Welche Angaben braucht man, um ein Dreieck zu berechnen?
Ein Dreieck besitzt drei Seiten und drei Innenwinkel. Häufig reichen bereits drei geeignete Angaben aus, damit sich alle weiteren Werte bestimmen lassen. Dabei müssen die bekannten Größen in einer sinnvollen Kombination vorliegen.
| Bekannte Werte | Mögliche Berechnung |
|---|---|
| Drei Seiten | Alle Winkel, Fläche, Umfang, Höhen und weitere Werte |
| Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel | Dritte Seite und anschließend alle weiteren Größen |
| Eine Seite und zwei Winkel | Dritter Winkel, fehlende Seiten und weitere Werte |
| Zwei Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks | Hypotenuse, Winkel, Fläche, Umfang und weitere Größen |
| Grundseite und zugehörige Höhe | Flächeninhalt |
Bei drei gegebenen Seiten muss außerdem die sogenannte Dreiecksungleichung erfüllt sein. Die Summe von jeweils zwei Seiten muss größer als die dritte Seite sein. Mit Seitenlängen von 2 cm, 3 cm und 10 cm lässt sich beispielsweise kein Dreieck bilden.
Seitenlängen eines Dreiecks berechnen
Die Seiten eines Dreiecks werden üblicherweise mit a, b und c bezeichnet. Ihnen gegenüber liegen die Winkel α, β und γ. Welche Methode zur Berechnung einer fehlenden Seite geeignet ist, hängt von den bekannten Angaben ab.
Drei Seiten sind bekannt
Sind die Seiten a, b und c bereits bekannt, müssen keine weiteren Seiten berechnet werden. Der Rechner kann die Werte jedoch verwenden, um Winkel, Fläche, Höhen, Umfang und viele weitere Eigenschaften zu bestimmen.
Zwei Seiten und ein Winkel sind bekannt
Kennst du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, lässt sich die dritte Seite mit dem Kosinussatz bestimmen. Diese Berechnung eignet sich auch für Dreiecke, die keinen rechten Winkel besitzen.
Für die Seite a lautet die Formel:
a² = b² + c² − 2 × b × c × cos(α)
Der Rechner führt diese Berechnung automatisch durch und verwendet die ermittelte Seite anschließend für die weiteren Ergebnisse.
Winkel im Dreieck berechnen
Die Winkel eines Dreiecks werden meistens mit den griechischen Buchstaben α, β und γ bezeichnet. In einem Dreieck in der Ebene beträgt die Summe der drei Innenwinkel immer 180 Grad.
Damit gilt:
α + β + γ = 180°
Sind zwei Winkel bekannt, lässt sich der dritte deshalb besonders einfach bestimmen. Bei α = 50° und β = 60° ergibt sich beispielsweise:
γ = 180° − 50° − 60° = 70°
Winkel aus drei Seiten bestimmen
Sind keine Winkel bekannt, dafür aber alle drei Seiten, können die Winkel mithilfe des Kosinussatzes berechnet werden. Dadurch ist es möglich, aus drei gültigen Seitenlängen das komplette Dreieck zu bestimmen.
Unser Rechner übernimmt diese Schritte automatisch. Du gibst lediglich die drei Seiten ein und erhältst die drei Winkel als Ergebnis.
Innenwinkelsumme eines Dreiecks
Die Innenwinkelsumme eines ebenen Dreiecks beträgt unabhängig von seiner Form immer 180 Grad. Das gilt für gleichseitige, gleichschenklige, ungleichseitige, rechtwinklige, spitzwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß. Jeder Winkel besitzt deshalb genau 60 Grad.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der Winkel 90 Grad. Für die beiden übrigen Winkel bleiben zusammen ebenfalls 90 Grad.
Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen
Der Flächeninhalt gibt an, wie groß die Fläche innerhalb des Dreiecks ist. Die passende Formel hängt davon ab, welche Werte bekannt sind.
Flächeninhalt mit Grundseite und Höhe
Wenn eine Grundseite g und die dazugehörige Höhe h bekannt sind, lässt sich der Flächeninhalt besonders einfach bestimmen. Die Höhe steht dabei senkrecht auf der gewählten Grundseite.
Die Formel lautet:
A = g × h ÷ 2
Bei einer Grundseite von 10 cm und einer Höhe von 6 cm ergibt sich:
A = 10 cm × 6 cm ÷ 2 = 30 cm²
Die Fläche des Dreiecks beträgt somit 30 Quadratzentimeter.
Flächeninhalt aus drei Seiten
Sind alle drei Seiten bekannt, aber keine Höhe, kann der Flächeninhalt mit der Heronschen Formel berechnet werden. Dafür wird zunächst der halbe Umfang s bestimmt.
s = (a + b + c) ÷ 2
Anschließend wird der Flächeninhalt mit folgender Formel berechnet:
A = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c))
Diese Methode ist besonders praktisch, wenn ein Dreieck vollständig durch seine drei Seiten beschrieben ist.
Umfang eines Dreiecks berechnen
Der Umfang eines Dreiecks entspricht der Summe seiner drei Seiten. Die Berechnung ist deshalb unabhängig von den Winkeln oder Höhen.
Die Formel lautet:
U = a + b + c
Bei den Seitenlängen a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm beträgt der Umfang:
U = 5 cm + 6 cm + 7 cm = 18 cm
Der halbe Umfang wird häufig mit dem Buchstaben s bezeichnet und beispielsweise für die Heronsche Formel benötigt.
s = U ÷ 2
Höhe eines Dreiecks berechnen
Zu jeder Seite eines Dreiecks gehört eine eigene Höhe. Deshalb gibt es die Höhen ha, hb und hc. Eine Höhe verläuft von einem Eckpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite oder zu deren Verlängerung.
Ist der Flächeninhalt bereits bekannt, kann die zu einer Seite gehörende Höhe leicht bestimmt werden.
Für die Höhe ha gilt:
ha = 2 × A ÷ a
Entsprechend lassen sich die beiden anderen Höhen berechnen:
hb = 2 × A ÷ b
hc = 2 × A ÷ c
Unser Rechner berechnet alle drei Höhen automatisch, sobald das Dreieck anhand der eingegebenen Werte eindeutig bestimmt werden kann.
Rechtwinkliges Dreieck berechnen
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von genau 90 Grad. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Die gegenüberliegende und längste Seite heißt Hypotenuse.
Sind die beiden Katheten a und b bekannt, kann die Hypotenuse c mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden:
c² = a² + b²
Daraus folgt:
c = √(a² + b²)
Bei a = 3 cm und b = 4 cm ergibt sich eine Hypotenuse von 5 cm.
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lässt sich ebenfalls besonders einfach berechnen, weil die beiden Katheten gleichzeitig als Grundseite und Höhe verwendet werden können.
A = a × b ÷ 2
Welche Arten von Dreiecken gibt es?
Dreiecke können anhand ihrer Seitenlängen oder anhand ihrer Winkel eingeteilt werden. Der Rechner kann aus den berechneten Werten erkennen, welcher Dreiecksart die eingegebenen Maße entsprechen.
| Dreiecksart | Eigenschaft |
|---|---|
| Gleichseitiges Dreieck | Alle drei Seiten sind gleich lang und alle Winkel betragen 60° |
| Gleichschenkliges Dreieck | Mindestens zwei Seiten sind gleich lang |
| Ungleichseitiges Dreieck | Alle drei Seiten besitzen unterschiedliche Längen |
| Rechtwinkliges Dreieck | Ein Winkel beträgt genau 90° |
| Spitzwinkliges Dreieck | Alle drei Winkel sind kleiner als 90° |
| Stumpfwinkliges Dreieck | Ein Winkel ist größer als 90° |
Weitere Werte des Dreiecks
Neben Fläche, Umfang, Seiten und Winkeln besitzt ein Dreieck weitere geometrische Größen, die bei bestimmten Aufgaben relevant sein können.
Seitenhalbierende
Eine Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck besitzt drei Seitenhalbierende. Sie schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks.
Winkelhalbierende
Eine Winkelhalbierende teilt einen Innenwinkel in zwei gleich große Winkel. Auch davon besitzt jedes Dreieck drei. Die Winkelhalbierenden treffen sich im Mittelpunkt des Inkreises.
Inkreis
Der Inkreis liegt vollständig innerhalb des Dreiecks und berührt alle drei Seiten. Ist der Flächeninhalt A und der halbe Umfang s bekannt, kann der Inkreisradius r berechnet werden:
r = A ÷ s
Umkreis
Der Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks. Sein Mittelpunkt liegt am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Für den Umkreisradius R kann bei bekannten Seiten und bekanntem Flächeninhalt folgende Formel verwendet werden:
R = (a × b × c) ÷ (4 × A)
Welche Einheit sollte ich im Dreieck-Rechner verwenden?
Am wichtigsten ist, dass du für alle Seiten und Höhen dieselbe Längeneinheit verwendest. Wenn du beispielsweise die Seite a in Zentimetern eingibst, solltest du auch b und c in Zentimetern angeben.
Der Umfang wird anschließend in derselben Längeneinheit ausgegeben. Beim Flächeninhalt wird daraus eine quadratische Einheit. Aus Zentimetern wird also Quadratzentimeter, aus Metern werden Quadratmeter.
Typische Einheiten sind:
- Millimeter und Quadratmillimeter
- Zentimeter und Quadratzentimeter
- Meter und Quadratmeter
- Kilometer und Quadratkilometer
Das sind die neuesten Geodreieck Produkte mit der besten Bewertung
FAQ zum Dreieck-Rechner
Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks?
Wenn Grundseite und Höhe bekannt sind, verwendest du die Formel A = g × h ÷ 2. Sind stattdessen alle drei Seiten bekannt, kann der Flächeninhalt mit der Heronschen Formel berechnet werden.
Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?
Addiere einfach alle drei Seitenlängen. Die Formel lautet U = a + b + c.
Wie groß ist die Innenwinkelsumme im Dreieck?
Die Summe der drei Innenwinkel eines ebenen Dreiecks beträgt immer 180 Grad. Sind zwei Winkel bekannt, kannst du den dritten Winkel deshalb durch Subtraktion von 180 Grad bestimmen.
Kann man ein Dreieck nur mit drei Seiten berechnen?
Ja. Wenn alle drei Seiten bekannt sind und die Dreiecksungleichung erfüllt ist, lässt sich das Dreieck vollständig bestimmen. Daraus können Winkel, Fläche, Höhen und weitere Werte berechnet werden.
Kann man ein Dreieck mit zwei Seiten und einem Winkel berechnen?
Ja, wenn die Angaben das Dreieck eindeutig bestimmen. Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, kann die dritte Seite beispielsweise mit dem Kosinussatz ermittelt werden.
Wie berechnet man die Höhe eines Dreiecks?
Wenn der Flächeninhalt A und die zugehörige Seite a bekannt sind, gilt ha = 2 × A ÷ a. Entsprechend können auch die Höhen zu den Seiten b und c bestimmt werden.
Wie berechnet man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks?
Mit dem Satz des Pythagoras. Sind die Katheten a und b bekannt, lautet die Formel c = √(a² + b²).
Wann kann aus drei Seiten kein Dreieck entstehen?
Wenn die Summe zweier Seiten kleiner oder gleich der dritten Seite ist, kann kein gültiges Dreieck entstehen. Jede Kombination aus zwei Seiten muss zusammen länger als die verbleibende Seite sein.
Warum können Ergebnisse leicht gerundet sein?
Bei der Berechnung von Winkeln, Wurzeln und trigonometrischen Funktionen entstehen häufig Zahlen mit vielen Nachkommastellen. Der Rechner rundet die Anzeige deshalb auf eine sinnvolle Anzahl von Stellen. Intern können die Berechnungen mit höherer Genauigkeit erfolgen.
Quellenangaben
Serlo, Dreieck
https://de.serlo.org/mathe/1949/dreieck
Serlo, Winkelsumme im Dreieck
https://de.serlo.org/mathe/1873/winkelsumme-im-dreieck
Serlo, Flächeninhalt eines Dreiecks aus Grundlinie und Höhe berechnen
https://de.serlo.org/mathe/36708/flaecheninhalt-eines-dreiecks-aus-grundlinie-und-hoehe-berechnen-herleitung
Mathebibel, Flächeninhalt Dreieck
https://www.mathebibel.de/flaecheninhalt-dreieck
Studyflix, Rechtwinkliges Dreieck
https://studyflix.de/mathematik/rechtwinkliges-dreieck-4779
